Soit X le tableau de données initial :

encore noté .

Le problème de l'ACP est alors d'avoir une bonne représentation des individus dans un espace et pour cela, il faut trouver le sous-espace affine E_k de dimension k (k<p souvent k=2) tel que , inertie du nuage N par rapport à l'espace E_k soit minimum. Il s'agit alors de maximaliser l'inertie par rapport à l'orthogonal de E_k , ce qui revient à considérer le nuage avec un angle qui rend maximum la dispersion des individus. On montre que le problème a une solution, et que la construction de l'espace E_k s'effectue axe par axe.

La solution est alors obtenue en utilisant les propriétés spectrales des matrices : les vecteurs propres normés de la matrice VM ordonnés suivant les valeurs propres décroissantes fournissent les axes Du₁,..., Du_k, appelés axes factoriels. De plus, les inerties expliquées par ces axes sont égales aux valeurs propres l_k. Les u_i forment une base M-orthonormée de E_k : les vecteurs u_i sont par définition normés et par ailleurs, la matrice VM étant symétrique, ses vecteurs propres sont orthogonaux.